Trapéz terület: képletek és számítási módszerek

Tartalomjegyzék:

Trapéz terület: képletek és számítási módszerek
Trapéz terület: képletek és számítási módszerek
Anonim

Ahhoz, hogy magabiztosan érezzük magunkat és sikeresen megoldjuk a feladatokat a geometria órákon, nem elég képleteket tanulni. Először is meg kell őket érteni. Félni, és még inkább utálni a képletektől, terméketlen. Ebben a cikkben a trapéz területének megtalálásának különféle módjait elemezzük elérhető nyelven. A megfelelő szabályok és tételek jobb asszimilációja érdekében némi figyelmet fordítunk a tulajdonságaira. Ez segít megérteni, hogyan működnek a szabályok, és milyen esetekben kell bizonyos képleteket alkalmazni.

Trapéz meghatározása

trapéz alakú terület
trapéz alakú terület

Általában mi ez a szám? A trapéz egy sokszög négy szöggel és két párhuzamos oldallal. A trapéz másik két oldala eltérő szögben dönthető. Párhuzamos oldalait alapoknak nevezzük, a nem párhuzamos oldalakra pedig az „oldalak” vagy „csípők” elnevezést használják. Az ilyen alakok meglehetősen gyakoriak a mindennapi életben. A trapéz körvonalai a ruházati cikkek, belső tárgyak, bútorok, edények és sok más sziluettjein láthatók. A trapéz különböző típusú lehet: sokoldalú, egyenlő szárú és téglalap alakú. Típusukat és tulajdonságaikat a cikk későbbi részében részletesebben elemezzük.

Trapéz tulajdonságai

mekkora a trapéz területe
mekkora a trapéz területe

Haladjunk röviden az ábra tulajdonságain. A bármely oldallal szomszédos szögek összege mindig 180°. Meg kell jegyezni, hogy a trapéz összes szöge 360°-ot tesz ki. A trapéznek a középvonal fogalma van. Ha az oldalak felezőpontjait összeköti egy szegmenssel, ez lesz a középvonal. Kijelölése m. A középvonalnak fontos tulajdonságai vannak: mindig párhuzamos az alapokkal (emlékezzünk arra, hogy az alapok is párhuzamosak egymással), és egyenlő a félösszegükkel:

m=(a+b)/2.

Ezt a meghatározást meg kell tanulni és meg kell érteni, mert ez a kulcsa sok probléma megoldásának!

A trapéznél mindig leengedheti a magasságot az alapig. A magasság egy merőleges, amelyet gyakran h szimbólummal jelölnek, és amelyet az egyik bázis bármely pontjáról egy másik bázisra vagy annak kiterjesztésére húznak. A középvonal és a magasság segít megtalálni a trapéz területét. Az ilyen jellegű feladatok az iskolai geometria tanfolyamon a leggyakoribbak, és rendszeresen megjelennek az ellenőrző és vizsgadolgozatok között is.

A trapéz területének legegyszerűbb képletei

trapéz alakú terület
trapéz alakú terület

Elemezzük a két legnépszerűbb és legegyszerűbb képletet, amelyek segítenek megtalálni a trapéz területét. Elég megszorozni a magasságot az alapok összegének felével, hogy könnyen megtalálja, amit keres:

S=h(a + b)/2.

Ebben a képletben a, b a trapéz alapjait, h - a magasságot jelöli. A könnyebb olvashatóság érdekében ebben a cikkben a szorzójeleket a () jellel jelöljük a képletekben, bár a hivatalos kézikönyvekben a szorzójelet általában elhagyják.

Vegyünk egy példát.

Adott: Trapéz két 10 cm-es és 14 cm-es alappal és 7 cm magassággal. Mekkora a trapéz területe?

Elemezzük a probléma megoldását. Ezzel a képlettel először meg kell találnia az alapok félösszegét: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Tehát a félösszeg 12 cm. Most megszorozzuk a félösszeget a magassággal: 127 \u003d 84. A kívánt megtalálható. Válasz: A trapéz területe 84 négyzetméter. lásd

A második jól ismert képlet azt mondja: a trapéz területe egyenlő a trapéz középvonalának és magasságának szorzatával. Vagyis tulajdonképpen a középvonal korábbi fogalmából következik: S=mh.

trapéz alakú terület
trapéz alakú terület

Átlók használata számításokhoz

A trapéz területének egy másik módja valójában nem is olyan nehéz. Átlóival van összekötve. E képlet szerint a terület megtalálásához meg kell szorozni az átlóinak (d1 d2) félszorzatát a szög köztük:

S=½ d1 d2 sin a.

Vegyünk egy problémát, amely bemutatja ennek a módszernek az alkalmazását. Adott: 8, illetve 13 cm átlóhosszú trapéz, az átlók közötti a szög 30°. Keresse meg a trapéz területét.

Döntés. A fenti képlet segítségével könnyen kiszámítható, hogy mire van szükség. Mint tudod, a sin 30° 0,5, ezért S=8130,5=52. Válasz: A terület 52 négyzetméter. lásd

Egy egyenlőszárú trapéz területét keresi

A trapéz lehet egyenlő szárú (egyenlő szárú). Oldalai azonosak És az alapoknál a szögek egyenlőek, amit az ábra jól szemléltet. Az egyenlő szárú trapéz ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a normál trapéz, és számos speciális tulajdonsággal is rendelkezik. Egy egyenlő szárú trapéz körül kör írható, és kör írható bele.

keresse meg a trapéz területét
keresse meg a trapéz területét

Milyen módszerekkel lehet kiszámítani egy ilyen szám területét? Az alábbi módszer sok számítást igényel. Használatához ismernie kell a trapéz alapjában lévő szög szinuszának (sin) és koszinuszának (cos) értékét. Számításaikhoz vagy Bradis táblákra vagy mérnöki számológépre van szükség. Íme a képlet:

S=c sin a (a – c cos a), ahol c az oldalsó comb, a az alsó tövénél bezárt szög.

Egy egyenlő szárú trapéz átlói azonos hosszúságúak. Ez fordítva is igaz: ha egy trapéz átlói egyenlőek, akkor egyenlő szárú. Ebből következik a következő képlet, amely segít megtalálni a trapéz területét - az átlók négyzetének és a köztük lévő szög szinuszának félszorzatát: S=½ d2bűn a.

Keresse meg egy téglalap alakú trapéz területét

trapéz alakú terület
trapéz alakú terület

Van egy speciális eset a téglalap alakú trapéznek. Ez egy trapéz, amelyben az egyik oldala (a combja) derékszögben csatlakozik az alapokhoz. Egy közönséges trapéz tulajdonságaival rendelkezik. Ezen kívül van egy nagyon érdekes funkciója. Egy ilyen trapéz átlóinak négyzeteinek különbsége megegyezik az alapjainak négyzeteinek különbségével. Ehhez az összes korábban megadott területszámítási módszert használják.

Használd a találékonyságodat

Van egy trükk, ami segíthet abban, hogy elfelejtsünk bizonyos képleteket. Nézzük meg közelebbről, mi az a trapéz. Ha gondolatban részekre osztjuk, akkor ismerős és érthető geometriai formákat kapunk: négyzet vagy téglalap és háromszög (egy vagy kettő). Ha ismeri a trapéz magasságát és oldalait, használhatja a képleteket a háromszög és a téglalap területére, majd összeadhatja az összes kapott értéket.

Szusztráljuk ezt a következő példával. Adott egy téglalap alakú trapéz. C szög=45°, A, D szögek 90°. A trapéz felső alapja 20 cm, magassága 16 cm. Ki kell számítani az ábra területét.

Döntés

Ez az ábra nyilvánvalóan egy téglalapból (ha két szög 90°-os) és egy háromszögből áll. Mivel a trapéz téglalap alakú, ezért a magassága megegyezik az oldalával, azaz 16 cm. Van egy téglalapunk, amelynek oldalai 20, illetve 16 cm. Tekintsünk most egy háromszöget, amelynek szöge 45°. Tudjuk, hogy az egyik oldala 16 cm. Mivel ez az oldal a trapéz magassága is (és tudjuk, hogy a magasság derékszögben esik az alapra), ezért a háromszög második szöge 90°. Ezért a háromszög fennmaradó szöge 45°. Ennek eredményeként egy derékszögű egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek két oldala azonos. Ez azt jelenti, hogy a háromszög másik oldala egyenlő a magassággal, azaz 16 cm. Marad egy háromszög és egy téglalap területének kiszámítása, és a kapott értékek összeadása.

Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a lábai szorzatának felével: S=(1616)/2=128. A téglalap területe egyenlő szélessége és hossza: S=2016=320. Megtaláltuk a szükségeset: a trapéz területe S=128 + 320=448 nm. lásd Könnyen ellenőrizheti magát a fenti képletekkel, a válasz azonos lesz.

Használja a Peak Formulát

trapéz alakú terület
trapéz alakú terület

Végül itt van egy másik eredeti képlet, amely segít megtalálni a trapéz területét. Pick képletnek hívják. Használata kényelmes, ha a trapéz kockás papírra van rajzolva. Hasonló feladatok gyakran találhatók a GIA anyagaiban. Így néz ki:

S=M/2 + N – 1, ebben a képletben M a csomópontok száma, azaz. az ábra vonalainak metszéspontjai a trapéz határán lévő cella vonalaival (narancssárga pontok az ábrán), N az ábrán belüli csomópontok száma (kék pontok). A legkényelmesebb egy szabálytalan sokszög területének megtalálásakor használni. Azonban minél nagyobb a használt technikák arzenálja, annál kevesebb a hiba és annál jobb az eredmény.

Természetesen a fenti információk korántsem merítik ki a trapéz típusait és tulajdonságait, valamint a terület megtalálásának módjait. Ez a cikk áttekintést nyújt a legfontosabb jellemzőiről. A geometriai feladatok megoldása során fontos a fokozatos cselekvés, könnyű képletekkel és problémákkal kezdeni, következetesen megszilárdítani a megértést, átlépni a komplexitás egy másik szintjére.

A leggyakrabban összeállított képletek segítenek a tanulóknak eligazodni a trapéz területének kiszámításának különböző módjai között, és jobban felkészülni a témával kapcsolatos tesztekre és tesztekre.

Ajánlott: